2021年北京高考數學科目的考試已經結束，北京教育考試院和北京教科院基教研中心的專家們對今年高考數學試卷進行了權威解析，一起來看
數學試卷整體分析
穩中求進，推動新高考改革致遠前行
2021年高考數學北京卷堅持貫徹落實立德樹人根本任務，實現“教”“學”“考”一體化的目標，形成了“一個中心，兩個維度，六大素養，四條路徑”的評價體系。即以立德樹人為中心，以知識與思想、文化與應用為內容，以數學學科六大素養為核心，以突出數學本質、精選試題素材、創新設問方式、凸顯問題解決能力為四條實施路徑。
一個中心：立德樹人
北京卷命題緊扣時代發展，選擇重大現實事件入題，發揮學科特點，以立德樹人為命題的宗旨，特別關注了德育、美育和勞動教育。
2021年是中國共產黨百年華誕，第6題以黨旗為背景，考查等差數列的基礎知識。同時，黨旗寬與長的比值2:3是最接近黃金比的、最簡的相鄰整數之比，體現數學與藝術的完美結合，引導學生去發現美。結合黨旗知識，引導學生學史明理、學史增信，堅定理想信念，擔當時代責任，厚植愛國主義情懷。
第8題以學生綜合實踐活動為背景，通過自制雨量器，收集雨水，測量降水量，將勞動教育與數學學科內容有機融合。從而引導學生熱愛勞動，崇尚勞動，助力培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人。
兩個維度：
知識與思想、文化與應用
一、突出對數學主干知識和思想方法的考查
北京卷突出對主干知識的考查。如對函數與導數、三角函數、平面解析幾何、立體幾何、統計與概率、數列、其他（不等式、集合、復數、二項式定理、充要條件、向量）這些主干知識進行重點考查，充分體現了對數學知識考查的基礎性、全面性和綜合性。
北京卷從數學學科整體意義和思想價值的高度立意，有效檢測學生對數學思想方法的掌握程度。如第15題考查數形結合、運動與變化思想，第17題第（Ⅱ）問和第20題第（Ⅱ）問考查了函數與方程的思想，第9題體現的是化歸與轉化思想，第21題考查了歸納與綜合、特殊與一般的思想，第18題考查了或然與必然的思想。
二、關注對數學文化與數學應用的考查
北京卷突出對數學文化和應用的考查，試題關注社會，關注學生發展，引導學生運用所學數學知識解決簡單實際問題。如第8題以測降雨量為題材，體現數學的應用價值，以及數學與地理學科的關系。同時該題材也與我國《數書九章》的“天池盆測雨”的背景有關，通過“以史育人”達到“以文化人”的目的。
第18題以新冠病毒的“10合1”與“5合1”核酸檢測技術為背景，讓學生體會數學知識在大規模排查新冠病毒感染者的實際問題中的應用，使學生體會概率統計知識的應用價值，激發學生學習數學的興趣，養成在日常生活中應用數學知識的習慣。
六大素養：
數學學科核心素養
北京卷通過設計現實性和綜合性問題，實現對數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六大素養的綜合考查。
針對數學抽象素養，北京卷設計了至少5道試題。如第10題，考查數列項數的最大值問題，題目中只給定了數列的前n項和以及數列的遞增性，需要學生綜合分析所給條件，要使得項數最大，首項必須盡可能小，遞增的幅度也需盡可能小，進而逐步抽象出等差數列模型。
針對邏輯推理素養，北京卷設計了至少3道試題。如第3題，以函數單調性、函數最值以及充要條件為載體，考查學生對函數性質的認識以及邏輯推理的能力。又如第21題第（Ⅰ）問，主要考查學生面對新情境的學習能力；第（Ⅱ）問需要學生特殊化三個性質；第（Ⅲ）問需要學生會用形式化的語言去推證一般的結論。
針對直觀想象素養，北京卷設計了至少5道試題。如第13題，考查的是向量的運算�；谙蛄烤哂袔缀魏痛鷶惦p重特征，本題既可以用坐標計算，也可以借助幾何直觀解決。
針對數學運算素養，北京卷設計了至少9道試題。如第12題，以拋物線為載體，考查拋物線的定義、焦點等知識。本題既可以通過設點的坐標、根據兩點間距離公式求解，也可以根據拋物線的定義直接求解。
針對數據分析素養，北京卷設計了第18題。本題以“10合1”為切入點設計了第（Ⅰ）問。利用“10合1”的檢測方式，如果新冠病毒感染者在同一組，只需檢測20次；如果新冠病毒感染者不在同一組，只需檢測30次。而根據傳統的檢測方法，需要檢測100次。因此，“10合1”的檢測方式效率大幅提高。
針對數學建模素養，北京卷設計了至少3道試題。如第8題的降雨量測量的體積模型。第21題第（Ⅲ）問中歸納、建構的“自變量為正整數的取整函數”的數列模型。
總之，北京卷通過設計現實性、探究性和綜合性問題，體現對數學素養的重點考查。
四條路徑：課堂、素材、呈現方式、問題解決
一、試題在內容上突出數學本質，回歸課堂教學
北京卷試題內容緊扣課標和教材，體現數學的本質，不出偏難怪題。選擇題、填空題主要考查教材和課標中的基礎知識和方法。第16題是正弦定理、余弦定理應用的問題，第17題是立體幾何的位置關系與角度問題，第19題是函數與導數中的切線、單調性與最值問題，第20題是直線與橢圓的位置關系問題，這四道題所考查的都是高中的主干知識，使用的方法是通性通法。這種考查方式，有利于減少死記硬背和機械刷題的現象，切實減輕學生的學習負擔。
試題符合學生的認知規律以及學生的實際，在問題設計時，通過層層遞進，為學生的思考搭建臺階。如第12題和第13題都設置兩空，第一空為第二空適當做鋪墊。第21題第（Ⅰ）問，只要能夠正確理解題意，大部分學生能夠完成；第（Ⅱ）問要把抽象的性質轉化成具體的數值，部分學生能夠完成；第（Ⅲ）問對學生的數學素養提出較高要求。因此，該題的層層設問，為不同水平的學生搭建了施展才華的舞臺。
二、試題在素材選取上，源于現實世界和學生生活
北京卷在試題素材的選取上，真實、自然、合理，突出對學習能力的考查。如第6題的黨旗五種通用規格，融入建黨百年主題教育的素材；第8題的24小時的降雨量及其所屬等級；第18題的“10合1”與“5合1”新冠病毒核酸檢測方法，把偉大抗疫精神等作為立德樹人的重要載體，體現數學的應用價值。
三、試題在呈現方式上，增強試題的選擇性和開放性
北京卷采用多種方式，對試題的形式進行動態調整和適度創新，增強試題的選擇性和開放性。在題型上進行了創新，設計條件或結論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題。如第14題，要求學生根據一點和其關于y軸對稱的點，給出q 的一個取值，試題答案不唯一。學生需要根據已有的信息，理解三角函數的概念，并用旋轉的思想和y軸對稱的特征解決問題。該問題考查學生思維的靈活性和多樣性。
與2020年試題相比，2021年的第16題是結構不良問題，在考查學生的選擇性方面又前進了一步，增加了一個不符合要求的條件，需要學生進行判斷和選擇。題目要求學生在三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，其中條件與已知題設矛盾。條件與條件分別給出三角形的周長與面積，兩問設置具有層次性，題目求解方法多樣，考查學生對于基礎知識的理解和運用能力。
北京卷在命題技術和評分量表上進行持續探索，以提升命題的質量。如第15題設計分層賦分試題。這種設計有利于保障試題的區分和考查效果。
四、試題凸顯對問題解決能力的考查，為學生的可持續發展打下基礎
北京卷的命題，不僅體現人才的選拔功能，還注重價值引領，凸顯對問題解決能力的考查，引導學生去探索，應用數學知識去解決職場與生活中的實際問題。
如第18題，緊密聯系社會重大問題，具有拓展性。是不是“10合1”總比“5合1”的效率高？在大規模檢測中是不是可以提出更高效的“k合1”方法，比如“100合1”？諸如此類的問題會引發學生持續的探索和研究，從而發展他們的發現與提出問題能力。
第21題以數列為載體，考查歸納概括、分類討論等數學思想方法，考查數學抽象、邏輯推理等數學素養，有助于引導學生問題解決能力的發展，從而由做題到做事，為未來進一步學習奠定良好基礎。
2021年是新高考改革的第二年，北京卷繼續保持“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的特點，堅持“立德樹人，服務選拔和引導教學”的命題指導原則，穩中求進，形成了“一個中心，兩個維度，六大素養，四條路徑”的評價體系，圍繞著強化中心，豐富維度內涵，突出素養，優化路徑，促進中學對“四具備”人才的培養，引導教學在“六個方面”下功夫，助力學生德智體美勞全面發展。
數學試卷試題分析
2021年高考北京數學試卷整體上符合國家課程標準要求，結合北京市高中數學教學現狀，知識要素覆蓋全面，數學素養考查突出。
相比于去年，數學試題在試卷結構、考試內容和難度上保持一致。題型依然是選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預設基本符合從易到難的分布。
試題的表述形式簡潔、規范，圖文準確并相互匹配，呈現方式及作答方式堅持多樣化，延續了北京數學試卷“大氣、平和”的特點。命題的總體穩定有利于考生穩定心態，正常發揮，考出自己的數學真實水平。
No.1文化浸潤，立德樹人
試卷第（6）題，以中國共產黨黨旗的圖案和規格為背景考查數列知識，體現了《深化新時代教育評價改革總體方案》的要求，著眼于傳承紅色基因，引導學生關注黨的知識和歷史。
第（16）題是以常規三角函數為背景的題目，改變相對固化的試題形式，設計學生自主選擇已知條件的任務，增強了試題的開放性，有助于減少死記硬背和“機械刷題”現象，有助于減輕學生過重的學習負擔。
第（8）題，設計了收集雨水的應用性題目，將環境保護教育、生態文明等主題教育與數學測試試題有機結合，引導學生樹立尊重自然、順應自然、保護自然的發展理念，展現了數學的教育價值，貫徹了《中小學德育工作指南》。
No.2穩中有變，適度創新
相比去年，數學試題在保持整體穩定的基礎上，又體現了適度創新。例如將結構不良問題放在了解答題第一題，雖然難度不大，但與去年不同的是所給三個條件中，有一個是不成立的，而另外兩組成立的條件在解法上也有所不同，為學生展現數學思維能力搭建了平臺。
再如第（3）題，考查了常用邏輯用語的必要條件、充分條件、充要條件的內容，與去年試題相比，位置相對提前，但降低了考查的難度，更加凸顯了考查考生對相關概念的理解和掌握。命題的適度創新，增強了試題的靈活性，為引導教學、防止題型固化、命題方式固化起到了積極的作用，也有利于對學生能力素養的考查。
No.3重視基礎，突出主干
在考查數學的“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）中，突出數學學科特色，著重考查學生的理性思維能力，發揮數學作為基礎學科的作用，重視考查中學數學基礎知識和方法的掌握程度，重點考查主干知識與內容。
例如，選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內容都是基礎知識和基本方法，考查了集合、復數、充要條件、三視圖、雙曲線的性質、二項式定理、拋物線的性質、平面向量等內容。在試題設計上，這些試題涉及的知識點相對單一、思維相對簡單，易于解答。
在此基礎上，試卷對主干內容重點考查，體現了對數學知識考查的全面性、基礎性和綜合性，6道解答題中重點考查了解三角形及立體幾何、概率統計、導數、直線與圓錐曲線、數列綜合等主干內容。解答題的前2道題，題干簡潔表述清晰，集中考查了解三角形和立體幾何的主干知識及核心概念。
No.4強調本質，考查素養
試卷突出體現數學學科素養，在關注考生未來發展的同時，以能力立意，強調對數學方法和數學本質的考查。
如：選擇題第（6）題和第（8）題考查學生運用所學知識分析、解決問題的能力，體現數學建模素養；第（20）題考查了解析幾何中的主要方法，需要學生具備一定的數學運算核心素養和解決問題；第（15）題考查推理判斷能力與靈活運用知識的綜合能力。
第（21）題以數列為載體，考查歸納概括、分類討論等數學思想方法，考查學生對新概念的理解，考查學生獲取新知識的能力和對新問題的理解探究能力。
第（4）題求四面體的表面積需要學生能根據三視圖作出直觀圖進行求解，考查直觀想象素養；第(17)題以正方體為載體考查直線與平面平行的性質及二面角的相關知識，考查邏輯推理和運算素養。第（13）題，考查的是向量的運算�；谙蛄烤哂袔缀魏痛鷶惦p重特征，本題既可以用坐標計算，也可以借助幾何直觀解決。
No.5突出數學應用，體現數學價值
試卷中設置以源于社會實際和學生真實生活的情境，引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值、美學價值。
例如第（6）題中，5種規格中國共產黨黨旗的長與寬的比值都相等，近似于黃金分割，體現出黨旗與數學之美的結合。第（8）題以學生綜合實踐活動切入，通過計算圓錐形量雨器內雨水的體積，求出降雨量，既提供了學習生活中解決現實問題的事例，又考查了學生分析和解決問題的能力。
再例如第（18）題以當前我國常用的大規模核酸檢測“k合1”方案為情境，求解檢驗次數，研究分布列和期望，尤其是對“10和1”與“5合1”兩個方案的對比，感受方案選擇與感染人數的關系，既考查了學生概率統計的知識和思想方法，也體現了數學模型在解決現實問題時的優化作用。
縱觀整份試卷，保持了北京試卷綜合、靈活的特色，穩中求變。
在突出基本知識、基本技能和基本思想方法考查的同時，突出考查學生的數學素養，展現數學的應用價值及學科育人價值，給不同能力水平的學生提供了展示的平臺，對數學教學起到了積極的引導作用。
北京市東城區教師研修中心
高級教師 張許合
北京市朝陽區教育研究中心
正高級教師 王文英
北京教育科學研究院
高級教師 黃煒
北京教育科學研究院
高級教師 李青霞
北京教育科學研究院
高級教師 康杰
編輯：幸何如意
